Question

14．已知函數(shù)f（x）=x-$\sqrt{1-2x}$．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求函數(shù)f（x）的值域；
（3）用定義證明函數(shù)f（x）在其定義域上為單調(diào)增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）解不等式1-2x≥0即可得出函數(shù)f（x）的定義域（-∞，$\frac{1}{2}$]；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義及不等式的性質(zhì)容易判斷x增大時(shí)，f（x）增大，從而得出f（x）在定義域上為增函數(shù)，從而有$f（x）≤f（\frac{1}{2}）$，這樣即可求出函數(shù)f（x）的值域；
（3）根據(jù)增函數(shù)的定義，在函數(shù)f（x）定義域上任意設(shè)x₁＜x₂，通過(guò)作差，通分，提取公因式即可判斷f（x₁）＜f（x₂），從而便證出函數(shù)f（x）在其定義域上為單調(diào)增函數(shù)．

解答 解：（1）解1-2x≥0得，x$≤\frac{1}{2}$；
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?（-∞，\frac{1}{2}]$；
（2）x$≤\frac{1}{2}$時(shí)，隨x的增大$x-\sqrt{1-2x}$增大，即f（x）增大；
∴函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞增；
∴$f（x）≤f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}$；
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)?（-∞，\frac{1}{2}]$；
（3）證明：設(shè)${x}_{1}＜{x}_{2}≤\frac{1}{2}$，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}-\sqrt{1-2{x}_{1}}-（{x}_{2}-\sqrt{1-2{x}_{2}}）$
=${x}_{1}-{x}_{2}+\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{\sqrt{1-2{x}_{1}}+\sqrt{1-2{x}_{2}}}$
=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1+\frac{2}{\sqrt{1-2{x}_{1}}+\sqrt{1-2{x}_{2}}}）$；
∵x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴函數(shù)f（x）在其定義域上為單調(diào)增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)定義域、值域的概念及求法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法，以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域的方法．