Question

7．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|，a∈R，g（x）=x²-1．
（1）當a=1時，解不等式f（x）≥g（x）；
（2）記函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值為F（a），求F（a）的表達式．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，即解不等式x|x-1|≥x²-1|，分類討論，分別解關于x的不等式，最后取兩部分的并集即可得到原不等式的解集；
（2）由題意，分類討論，確定函數(shù)的單調性，可得F（a）的表達式．

解答 解：f（x）≥g（x），a=1時，即解不等式x|x-1|≥x²-1，…（1分）
當x≥1時，不等式為x²-x≥x²-1，解得x≤1，所以x=1；…（3分）
當x＜1時，不等式為x-x²≥x²-1，解得$-\frac{1}{2}≤x≤1$，
所以$-\frac{1}{2}≤x＜1$；…（5分）
綜上，x∈$[-\frac{1}{2}，1]$．…（6分）
（2）因為x∈[0，2]，當a≤0時，f（x）=x²-ax，則f（x）在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，
所以F（a）=f（2）=4-2a；…（7分）
當0＜a＜2時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+ax，0≤x＜a\\{x^2}-ax，a≤x＜2\end{array}\right.$，
則f（x）在區(qū)間$[0，\frac{a}{2}]$上是增函數(shù)，在區(qū)間$[\frac{a}{2}，a]$上是減函數(shù)，在區(qū)間[a，2]上是增函數(shù)，
所以F（a）=max{f（$\frac{a}{2}$），f（2）}，…（9分）
而$f（\frac{a}{2}）=\frac{a^2}{4}$，f（2）=4-2a，令$f（\frac{a}{2}）＜f（2）$即$\frac{a^2}{4}＜4-2a$，
解得$-4-4\sqrt{2}＜a＜-4+4\sqrt{2}$，
所以當$0＜a＜4\sqrt{2}-4$時，F(xiàn)（a）=4-2a；…（11分）
令$f（\frac{a}{2}）≥f（2）$即$\frac{a^2}{4}≥4-2a$，解得$a≤-4-4\sqrt{2}$或$a≥-4+4\sqrt{2}$，
所以當$4\sqrt{2}-4＜a≤2$時，$F（a）=\frac{a^2}{4}$；…（12分）
當a≥2時，f（x）=-x²+ax，
當$1≤\frac{a}{2}＜2$即2≤a＜4時，f（x）在間$[0，\frac{a}{2}]$上是增函數(shù)，在$[\frac{a}{2}，2]$上是減函數(shù)，
則$F（a）=f（\frac{a}{2}）=\frac{a^2}{4}$；…（13分）
當$\frac{a}{2}≥2$，即a≥4時，f（x）在間[0，2]上是增函數(shù)，則F（a）=f（2）=2a-4；…（14分）
所以，$F（a）=\left\{\begin{array}{l}4-2a，a≤4\sqrt{2}-4\\ \frac{a^2}{4}，4\sqrt{2}-4＜a＜4\\ 2a-4，a≥4\end{array}\right.$，…（16分）

點評 本題給出含有參數(shù)且含有絕對值的不等式，求不等式的解集并求F（a）的表達式的問題，著重考查函數(shù)的性質及應用、絕對值不等式的解法等知識，屬于難題．