Question

6．已知點F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左，右焦點，過F₂且垂直于x軸的直線與雙曲線交于M，N兩點，若$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{N{F}_{1}}$＞0，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（　�。�

• A． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$+1）
• B． （1，$\sqrt{2}$+1）
• C． （1，$\sqrt{3}$）
• D． $（{\sqrt{3}，+∞}）$

Answer 1

分析 求出交點M，N的坐標(biāo)，若$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{N{F}_{1}}$＞0，則只要∠MF₁F₂＜45°即可，利用斜率公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)x=c時，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，得$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-1=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
則y²=$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$，則y=±$\frac{^{2}}{a}$，
則M（c，$\frac{^{2}}{a}$），N（c，-$\frac{^{2}}{a}$），F(xiàn)₁（-c，0），
若$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{N{F}_{1}}$＞0，
則只要∠MF₁F₂＜45°即可，
則tan∠MF₁F₂＜tan45°=1，
即$\frac{\frac{^{2}}{a}}{2c}$=$\frac{^{2}}{2ac}$＜1，即b²＜2ac，
則c²-a²＜2ac，
即c²-2ac-a²＜0，
則e²-2e-1＜0，
得1-$\sqrt{2}$＜e＜1+$\sqrt{2}$，
∵e＞1，
∴1＜e＜1+$\sqrt{2}$，
故選：B

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)向量數(shù)量積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求∠MF₁F₂＜45°是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力．