Question

15．已知F₁、F₂分別是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點．若直線l：x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$上存在點P，使得線段PF₂的中垂線與x軸交點在橢圓內(nèi)部，則橢圓C離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． （0，$\sqrt{2}$-1）
• C． （$\sqrt{2}$-1，1）
• D． （2-$\sqrt{2}$，1）

Answer 1

分析 通過設(shè)P（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，m），利用中點坐標(biāo)公式可得PF₂中點Q的坐標(biāo)，利用互相垂直的兩條直線之間的斜率關(guān)系可知線段PF₂的中垂線的斜率，進(jìn)而可得中垂線方程，進(jìn)而令y=0可知中垂線與x軸交點橫坐標(biāo)，利用其＞-a計算即得結(jié)論．

解答 解：依題意，F(xiàn)₂（c，0），
設(shè)P（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，m），則線段PF₂中點Q（$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{2c}$，$\frac{1}{2}$m），
當(dāng)m≠0時，直線PF₂的斜率k=$\frac{0-m}{c+\frac{{a}^{2}}{c}}$=-$\frac{cm}{{c}^{2}+{a}^{2}}$，
故線段PF₂的中垂線的斜率為$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{cm}$，
中垂線方程為：y-$\frac{1}{2}$m=$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{cm}$（x-$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{2c}$），
令y=0，得x=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{2c}$-$\frac{c{m}^{2}}{2（{c}^{2}+{a}^{2}）}$＞-a，
整理得：$\frac{c{m}^{2}}{2（{c}^{2}+{a}^{2}）}$＜$\frac{{c}^{2}+2ac-{a}^{2}}{2c}$，
從而c²-a²+2ac＞0，
兩邊同時除以a²，得：e²-1+2e＞0，
整理得：（e+1）²＞2，
解得：e＜-$\sqrt{2}$-1（舍）或e＞$\sqrt{2}$-1，
又∵0＜e＜1，
∴$\sqrt{2}$-1＜e＜1，
故選：C．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，涉及直線的點斜式方程、中點坐標(biāo)公式、中垂線、不等式等基礎(chǔ)知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．