Question

8．雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與直線3x-y+1=0平行，F(xiàn)₁、F₂是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，M是雙曲線C上一點(diǎn)，且|MF₁|=$\frac{3}{2}$|MF₂|=6，則雙曲線的焦距長為（　�。�

• A． 6
• B． 2
• C． 2$\sqrt{10}$
• D． 8

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，由兩直線平行的條件，可得b=3a，運(yùn)用雙曲線的定義可得2a=2，求得a=1，b=3，再由a，b，c的關(guān)系可得c，進(jìn)而得到焦距的長2c．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
一條漸近線與直線3x-y+1=0平行，可得$\frac{a}$=3，
即為b=3a，
由|MF₁|=$\frac{3}{2}$|MF₂|=6，可得|MF₁|=6，|MF₂|=4，
由雙曲線的定義可得2a=|MF₁|-|MF₂|=6-4=2，
解得a=1，b=3，
即有c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{10}$．
即有焦距長為2$\sqrt{10}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程的運(yùn)用，考查定義法的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．