Question

1．在直角坐標(biāo)系中，圓C₁：x²+y²=1經(jīng)過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后得到曲線C₂，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為cosθ+sinθ=$\frac{10}{ρ}$．
（Ⅰ）求曲線C₂的直角坐標(biāo)方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）在C₂上求一點(diǎn)M，是點(diǎn)M到直線l的距離最小，并求出最小距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后得到曲線C₂，可得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}x′\\ y=\frac{1}{2}y′\end{array}\right.$，代入圓C₁：x²+y²=1，化簡可得曲線C₂的直角坐標(biāo)方程，將直線l的極坐標(biāo)方程為cosθ+sinθ=$\frac{10}{ρ}$化為：ρcosθ+ρsinθ=10，進(jìn)而可得直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）將直線x+y-10=0平移與C₂相切時(shí)，則第一象限內(nèi)的切點(diǎn)M滿足條件，聯(lián)立方程求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后得到曲線C₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}x′\\ y=\frac{1}{2}y′\end{array}\right.$，代入圓C₁：x²+y²=1得：$\frac{x{′}^{2}}{9}+\frac{y{′}^{2}}{4}=1$，
故曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為$\frac{x{\;}^{2}}{9}+\frac{y{\;}^{2}}{4}=1$；
直線l的極坐標(biāo)方程為cosθ+sinθ=$\frac{10}{ρ}$．
即ρcosθ+ρsinθ=10，即x+y-10=0，
（Ⅱ）將直線x+y-10=0平移與C₂相切時(shí)，則第一象限內(nèi)的切點(diǎn)M滿足條件，
設(shè)過M的直線為x+y+C=0，
則由$\left\{\begin{array}{l}x+y+C=0\\ \frac{x{\;}^{2}}{9}+\frac{y{\;}^{2}}{4}=1\end{array}\right.$得：13x²+18Cx+9C²-36=0，
由△=（18C）²-4×13×（9C²-36）=0得：C=±$\sqrt{13}$，
故x=$\frac{9\sqrt{13}}{13}$，或x=-$\frac{9\sqrt{13}}{13}$，（舍去），
則y=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$，
即M點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{9\sqrt{13}}{13}$，$\frac{4\sqrt{13}}{13}$），
則點(diǎn)M到直線l的距離d=$\frac{10-\sqrt{13}}{\sqrt{2}}$

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是簡單的極坐標(biāo)方程，直線與圓錐曲線的關(guān)系，難度中檔．