Question

12．對(duì)于數(shù)列{a_n}，若?m，n∈N^*（m≠n），均有$\frac{{a}_{m}-{a}_{n}}{m-n}≥t$（t為常數(shù)），則稱數(shù)列{a_n}具有性質(zhì)P（t）
（1）若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n²，具有性質(zhì)P（t），則t的最大值為3
（2）若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n²-$\frac{a}{n}$，具有性質(zhì)P（7），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥8．

Answer 1

分析 （1）若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n²，具有性質(zhì)P（t），則t的最大值為
（2）根據(jù)定義$\frac{{a}_{m}-{a}_{n}}{m-n}$≥7恒成立，利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n²，具有性質(zhì)P（t），
則$\frac{{a}_{m}-{a}_{n}}{m-n}$=$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{m-n}$=m+n，
由$\frac{{a}_{m}-{a}_{n}}{m-n}≥t$得m+n≥t，
∵?m，n∈N^*（m≠n），
∴當(dāng)m+n=1+2時(shí)，t≤3，
則t的最大值為3．
（2）若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n²-$\frac{a}{n}$，具有性質(zhì)P（7），
則$\frac{{a}_{m}-{a}_{n}}{m-n}$≥7恒成立，
即$\frac{{m}^{2}-\frac{a}{m}-{n}^{2}+\frac{a}{n}}{m-n}$=$\frac{（m-n）（m+n）+\frac{a（m-n）}{nm}}{m-n}$=m+n+$\frac{a}{mn}$≥7，
即當(dāng)m=1，n=2時(shí)，=m+n+$\frac{a}{mn}$=1+2+$\frac{a}{2}$≥7，
即$\frac{a}{2}$≥4
則a≥8．
故答案為：3，a≥8

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，以及不等式恒成立問題，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．