Question

17．有下列說法：
①在△ABC中，若$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CA}$＜0，則△ABC是鈍角三角形；
②在△ABC中$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow$，若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|，則△ABC是直角三角形；
③在△ABC中，若tan $\frac{A+B}{2}$=sin C，則sin²A+sin²B=1；
④在△ABC中，E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點，且3AB=2AC，若$\frac{BE}{CF}$＜t恒成立，則t的最小值為$\frac{7}{8}$．
其中正確說法的個數(shù)是（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 ①根據(jù)向量數(shù)量積的公式進行判斷即可．
②根據(jù)向量加法法則以及平方法進行判斷即可，
③根據(jù)兩角和差的三角公式進行化簡即可，
④根據(jù)三角形的正弦定理和余弦定理進行化簡求解即可．

解答 解：①在△ABC中，若$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CA}$＜0，則|BC||CA|cos（π-C）＜0，
即-cosC＜0，則cosC＞0，則C是銳角，則△ABC是不一定是鈍角三角形；故①錯誤，
②在△ABC中$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow$，
則$\overrightarrow{a}$=-（$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$），若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|，
則|-（$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）|=|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|，
平方得$\overrightarrow$²+$\overrightarrow{c}$²+2$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow$²+$\overrightarrow{c}$²-2$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$，
則$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$=0，即$\overrightarrow$⊥$\overrightarrow{c}$，則AB⊥CA，則△ABC是直角三角形；故②正確，
③在△ABC中，若tan $\frac{A+B}{2}$=sin C，
則tan（$\frac{π}{2}$-$\frac{C}{2}$）=$\frac{sin（\frac{π}{2}-\frac{C}{2}）}{cos（\frac{π}{2}-\frac{C}{2}）}$=$\frac{cos\frac{C}{2}}{sin\frac{C}{2}}$=2sin$\frac{C}{2}$cos$\frac{C}{2}$，
則cos$\frac{C}{2}$=2sin²$\frac{C}{2}$cos$\frac{C}{2}$，
即cos$\frac{C}{2}$（1-2sin²$\frac{C}{2}$）=cos$\frac{C}{2}$cosC=0，
則cosC=0，則C=$\frac{π}{2}$，
則B=$\frac{π}{2}$-A，
則sin²A+sin²B=sin²A+sin²（$\frac{π}{2}$-A）=sin²A+cos²A=1；故③正確，
④根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：
∵3AB=2AC，
∴AC=$\frac{3}{2}$AB，
又E、F分別為AC、AB的中點，∴AE=$\frac{1}{2}$AC，AF=$\frac{1}{2}$AB，
∴在△ABE中，由余弦定理得：BE²=AB²+AE²-2AB•AE•cosA
=AB²+（$\frac{3}{4}$AB）²-2AB•$\frac{3}{4}$AB•cosA=$\frac{25}{16}$AB²-$\frac{3}{2}$AB²cosA，
在△ACF中，由余弦定理得：CF²=AF²+AC²-2AF•AC•cosA
=（$\frac{1}{2}$AB）²+（$\frac{3}{2}$AB）²-2•$\frac{1}{2}$AB•$\frac{3}{2}$AB•cosA=$\frac{5}{2}$AB²-$\frac{3}{2}$AB²cosA，
∴$\frac{{BE}^{2}}{{CF}^{2}}$=$\frac{\frac{25}{16}{AB}^{2}-\frac{3}{2}{AB}^{2}cosA}{\frac{5}{2}{AB}^{2}-\frac{3}{2}{AB}^{2}cosA\;\;}$=$\frac{\frac{25}{16}-\frac{3}{2}cosA}{\frac{5}{2}-\frac{3}{2}cosA}$，
∴$\frac{BE}{CF}$=$\sqrt{\frac{\frac{25}{16}-\frac{3}{2}cosA}{\frac{5}{2}-\frac{3}{2}cosA}}$=$\sqrt{1-\frac{15}{40-24cosA}}$，
∵當cosA取最小值時，$\frac{BE}{CF}$比值最大，
∴當A→π時，cosA→-1，此時$\frac{BE}{CF}$達到最大值，最大值為$\sqrt{1-\frac{15}{40+24}}$=$\frac{7}{8}$，
則$\frac{BE}{CF}＜t$恒成立，t的最小值為$\frac{7}{8}$．故④正確，
故正確的是②③④，
故選：B

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強，有一定的難度．