Question

8．已知函數f（x）=$\sqrt{{e}^{x}-a}$（e為自然對數的底數，a∈R），若存在x∈[0，1]，使f（f（x））=x成立，則實數a的取值范圍是[1，e-1]．

Answer 1

分析 利用反函數將問題進行轉化，再將解方程問題轉化為函數的圖象交點問題．

解答 解：∵存在x∈[0，1]，使f（f（x））=x成立，
∴存在x∈[0，1]，使f（x）=f^-1（x），
即函數f（x）與其反函數f^-1（x）在[0，1]上有交點．
∵f（x）=$\sqrt{{e}^{x}-a}$（在[0，1]上為增函數，
∴函數f（x）與其反函數f^-1（x）在[0，1]的交點在直線y=x上，
即函數f（x）與其反函數f^-1（x）的交點就是f（x）與y=x的交點．
令$\sqrt{{e}^{x}-a}$=x，則方程在[0，1]上一定有解．
∴a=e^x-x²，
設g（x）=e^x-x²，
則g′（x）=e^x-2x，令h（x）=e^x-2x，h′（x）=e^x-2，
當x＞ln2時，h′（x）＞0，當x＜ln2時，h′（x）＜0，
即有x=ln2處取得最小值2-2ln2＞0，
即g′（x）＞0在[0，1]上恒成立，
∴g（x）=e^x-x²在[0，1]上遞增，
∴a=g（x）≥g（0）=1，
g（x）≤g（1）=e-1；
綜上可知，1≤a≤e-1．
故答案為：[1，e-1]．

點評 本題主要考察了復合函數的性質，綜合性較強，屬于難題．