Question

14．給定直線m：y=2x-16，拋物線：y²=2px（p＞0）．
（1）當拋物線的焦點在直線m上時，確定拋物線的方程；
（2）若△ABC的三個頂點都在（1）所確定的拋物線上，且點A的縱坐標y=8，△ABC的重心恰在拋物線的焦點上，求直線BC的方程．

Answer 1

分析 （1）由拋物線解析式表示出拋物線焦點坐標，代入直線m方程求出p的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）把A縱坐標代入拋物線解析式確定出橫坐標，進而確定出A坐標，根據(jù)F為△ABC重心坐標，列出關(guān)系式，將A坐標代入整理得到B與C橫縱坐標關(guān)系，再將B與C代入拋物線解析式，整理求出直線BC斜率，再利用中點坐標公式求出BC中點坐標，即可確定出直線BC解析式．

解答 解：（1）拋物線：y²=2px（p＞0）的焦點坐標為（$\frac{p}{2}$，0），
代入直線m得：p-16=0，即p=16，
則拋物線解析式為y²=32x；
（2）把y=8代入拋物線解析式得：x=2，即A（2，8），
∵F（8，0）為△ABC的重心，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{A}+{x}_{B}+{x}_{C}}{3}=8}\\{\frac{{y}_{A}+{y}_{B}+{y}_{C}}{3}=0}\end{array}\right.$，
整理得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{B}+{x}_{C}=22}\\{{y}_{B}+{y}_{C}=-8}\end{array}\right.$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{{y}_{B}}^{2}=32{x}_{B}}\\{{{y}_{C}}^{2}=32{x}_{C}}\end{array}\right.$，整理得（y_B+y_C）（y_B-y_C）=32（x_B-x_C），即$\frac{{y}_{B}-{y}_{C}}{{x}_{B}-{x}_{C}}$=$\frac{32}{{y}_{B}+{y}_{C}}$=-4=k_BC，
∵BC的中點坐標為（11，-4），
∴BC的直線方程為y+4=-4（x-11），即4x+y-40=0．

點評 此題考查了拋物線的簡單性質(zhì)，直線的斜率，中點坐標公式，以及直線的點斜式方程，熟練掌握拋物線的簡單性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．