Question

【題目】已知點(diǎn)P（2，0），及⊙C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．
（1）當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P且與圓心C的距離為1時(shí)，求直線(xiàn)l的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)與⊙C交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|=4，求以線(xiàn)段AB為直徑的圓的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x﹣3）2+（y+2）2=9，

①設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k（k存在）

則方程為y﹣0=k（x﹣2）即kx﹣y﹣2k=0

又⊙C的圓心為（3，﹣2），r=3，

由

所以直線(xiàn)方程為 即3x+4y﹣6=0；

②當(dāng)k不存在時(shí)，直線(xiàn)l的方程為x=2．

綜上，直線(xiàn)l的方程為3x+4y﹣6=0或x=2

（2）解：由弦心距 ，即|CP|= ，

設(shè)直線(xiàn)l的方程為y﹣0=k（x﹣2）即kx﹣y﹣2k=0則圓心（3，﹣2）到直線(xiàn)l的距離d= = ，

解得k= ，所以直線(xiàn)l的方程為x﹣2y﹣2=0聯(lián)立直線(xiàn)l與圓的方程得 ，

消去x得5y2﹣4=0，則P的縱坐標(biāo)為0，把y=0代入到直線(xiàn)l中得到x=2，

則線(xiàn)段AB的中點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，0），所求圓的半徑為： |AB|=2，

故以線(xiàn)段AB為直徑的圓的方程為：（x﹣2）2+y2=4

【解析】（1）把圓的方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程后，分兩種情況①斜率k存在時(shí)，因?yàn)橹本�(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，設(shè)出直線(xiàn)的方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式表示出圓心到所設(shè)直線(xiàn)的距離d，讓d等于1列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根據(jù)k的值和P的坐標(biāo)寫(xiě)出直線(xiàn)l的方程即可；②當(dāng)斜率不存在時(shí)顯然得到直線(xiàn)l的方程為x=2；（2）利用弦|AB|的長(zhǎng)和圓的半徑，根據(jù)垂徑定理可求出弦心距|CP|的長(zhǎng)，然后設(shè)出直線(xiàn)l的方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式表示出圓心到直線(xiàn)的距離d，讓d等于|CP|列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，寫(xiě)出直線(xiàn)l的方程，把直線(xiàn)l的方程與已知圓的方程聯(lián)立消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，利用韋達(dá)定理即可求出線(xiàn)段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，把縱坐標(biāo)代入到直線(xiàn)l的方程中即可求出橫坐標(biāo)，即可得線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)即為線(xiàn)段AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)，圓的半徑為|AB|的一半，根據(jù)圓心和半徑寫(xiě)出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解一般式方程(直線(xiàn)的一般式方程：關(guān)于的二元一次方程（A，B不同時(shí)為0）)，還要掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程(圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．