【題目】在等差數(shù)列{an}中,a1+a3=10,d=3.令bn= ,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn .
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項和Tn;
(3)是否存在正整數(shù)m,n(1<m<n),使得T1 , Tm , Tn成等比數(shù)列?若存在,求出所有的m,n的值;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由a1+a3=10,d=3,得
,
解得a1=2,
所以an=2+3(n﹣1)=3n﹣1(n∈N+)
(2)解:由(1)知,an=3n﹣1.
所以bn= = = = ( ﹣ ),
∴Tn= ( ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ )= ( ﹣ )=
(3)解:假設(shè)否存在正整數(shù)m,n(1<m<n),使得T1,Tm,Tn成等比數(shù)列,
由(2)知,T1= ,Tm= ,Tn= ,
因為T1,Tm,Tn成等比數(shù)列,
所以( )2= × ,即 = ,
整理,得
n(﹣3m2+6m+2)=5m2.(*)
①當m=2時,(*)式可化為2n=20,所以n=10.
②當m≥3時,﹣3m2+6m+2=﹣3(m﹣1)2+5≤﹣7<0.
又因為5m2>0,
所以(*)式可化為n= <0,
所以此時n無正整數(shù)解.
綜上可知,存在滿足條件的正整數(shù)m,n,此時m=2,n=10
【解析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求得首項a1的值,則易求數(shù)列{an}的通項公式;(2)利用拆項法求得數(shù)列{bn}的通項公式,則易求Tn;(3)假設(shè)否存在正整數(shù)m,n(1<m<n),使得T1 , Tm , Tn成等比數(shù)列,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)得到 = ,從而求得符合條件的m、n的值.
【考點精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式的相關(guān)知識點,需要掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為﹣3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求過點A(2,2)的切線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)a∈R,函數(shù)f(x)=x|x﹣a|+2x.
(1)若a=3,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,4]上的最大值;
(2)若存在a∈(2,4],使得關(guān)于x的方程f(x)=tf(a)有三個不相等的實數(shù)解,求實數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將直線2x﹣y+λ=0沿x軸向左平移1個單位,所得直線與圓x2+y2+2x﹣4y=0相切,則實數(shù)λ的值為( )
A.﹣3或7
B.﹣2或8
C.0或10
D.1或11
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】利用兩角和與差的正弦、余弦公式證明:
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α﹣β)];
cosαsinβ=[sin(α+β)﹣sin(α﹣β)];
cosαsinβ=[cos(α+β)+cos(α﹣β)];
sinαcosβ=[cos(α+β)﹣cos(α﹣β)].
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=3,且an+2=|an+1|﹣an , n∈N* , 記{an}的前n項和為Sn , 則S100= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點P(2,0),及⊙C:x2+y2﹣6x+4y+4=0.
(1)當直線l過點P且與圓心C的距離為1時,求直線l的方程;
(2)設(shè)過點P的直線與⊙C交于A、B兩點,當|AB|=4,求以線段AB為直徑的圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】己知數(shù)列{log2(an﹣1)}為等差數(shù)列,且a1=3,a2=5.
(1)求證:數(shù)列{an﹣1}是等比數(shù)列;
(2)求 + +…+ 的值.
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