Question

18．已知函數(shù)f（x）=ax²+2bx+c．
（Ⅰ）若a=-1，c=0，且y=f（x）在[-1，3]上的最大值為g（b），求g（b）；
（Ⅱ）若a=1，且f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求證：0＜b+c＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a=-1，c=0時(shí)的f（x）解析式，配方求出對(duì)稱軸，討論區(qū)間[-1，3]與對(duì)稱軸的關(guān)系，運(yùn)用單調(diào)性即可得到最大值g（b）；
（Ⅱ）由題意可得判別式大于0，對(duì)稱軸介于（1，2），f（1）＞0，f（2）＞0，作出不等式組表示的區(qū)域，再由直線b+c=0平移可得最值，進(jìn)而得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）a=-1，c=0時(shí)，f（x）=-x²+2bx=-（x-b）²+b²，
∴對(duì)稱軸是直線x=b，
①b＜-1時(shí)，[-1，3]為減區(qū)間，即有f（x）_max=f（-1）=-1-2b；
②當(dāng)-1≤b≤3時(shí)，即有f（x）_max=g（b）=b²；
③當(dāng)b＞3時(shí)，[-1，3]為增區(qū)間，即有f（x）_max=f（3）=-9+6b．
綜上所述，g（b）=$\left\{\begin{array}{l}{-1-2b，b＜-1}\\{^{2}，-1≤b≤3}\\{6b-9，b＞3}\end{array}\right.$； 
（Ⅱ）證明：若a=1即有f（x）=x²+2bx+c，
f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，
可得$\left\{\begin{array}{l}{△=4^{2}-4c＞0}\\{1＜-b＜2}\\{1+2b+c＞0}\\{4+4b+c＞0}\end{array}\right.$，即有$\left\{\begin{array}{l}{^{2}＞c}\\{-2＜b＜-1}\\{2b+c＞-1}\\{4b+c＞-4}\end{array}\right.$，
作出不等式組表示的可行域，（以b為x軸，c為y軸），
求得A（-2，4），C（-1，1），B（-$\frac{3}{2}$，2），
即有當(dāng)直線b+c=0經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，取得最大值，且為2；
經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，取得最小值，且為0．
由題意可得0＜b+c＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的最值的求法，注意討論對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，考查不等式的證明，注意運(yùn)用線性規(guī)劃的知識(shí)，求得最值，屬于中檔題．