Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，下底BC長(zhǎng)為3，底角C為45°，高為a，E為上底AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為折線段C-D-A上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)

BE

•

BF

的最小值為g（a），若關(guān)于a的方程g（a）=ka-1有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（　　）

• A、（

  7

  2

  ，

  11

  3

  ）
• B、（

  7

  2

  ，+∞）
• C、（

  11

  3

  ，+∞）
• D、（

  13

  ，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的綜合題,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC方向?yàn)閤軸正方向建立空間坐標(biāo)系，結(jié)合F為折線段C-D-A上的動(dòng)點(diǎn)，可得當(dāng)F落在A點(diǎn)時(shí)，

BE

•

BF

取最小值g（a）=a²+

3

2

a，（0＜a＜

3

2

），若關(guān)于a的方程g（a）=ka-1有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則

△=( 3 2 -k)2-4＞0 0＜ k- 3 2 2 ＜ 3 2 ( 3 2 )2+ 3 2 ( 3 2 -k)+1＞0

，解不等式組，可得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC方向?yàn)閤軸正方向建立空間坐標(biāo)系，
由已知可得：A（a，a），C（3，0），E（

3

2

，a），
由F為折線段C-D-A上的動(dòng)點(diǎn)，
故當(dāng)F落在A點(diǎn)時(shí)，

BE

•

BF

取最小值g（a），
即g（a）=（

3

2

，a）•（a，a）=a²+

3

2

a，（0＜a＜

3

2

）
若關(guān)于a的方程g（a）=ka-1有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
即a²+（

3

2

-k）a+1=0在（0，

3

2

）上有兩個(gè)不等式相等的實(shí)根，
故

△=( 3 2 -k)2-4＞0 0＜ k- 3 2 2 ＜ 3 2 ( 3 2 )2+ 3 2 ( 3 2 -k)+1＞0

解得：k∈（

7

2

，

11

3

），
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量及應(yīng)用，方程根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，是方程，向量，不等式的綜合應(yīng)用，難度較大．