Question

19．已知函數(shù)f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集為[0，4]，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若?x₀∈R，使得f（x₀）+f（x₀+5）-m²＜4m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集為[0，4]，可得$\left\{\begin{array}{l}{a-2=0}\\{a+2=4}\end{array}\right.$，即可求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）根據(jù)第一步所化出的分段函數(shù)求出函數(shù)f（x）的最小值，若?x₀∈R，使得f（x₀）+f（x₀+5）-m²＜4m成立，只需4m+m²＞f_min（x），解出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵|x-a|≤2，∴a-2≤x≤a+2，
∵f（x）≤2的解集為[0，4]，∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2=0}\\{a+2=4}\end{array}\right.$，∴a=2．
（Ⅱ）∵f（x）+f（x+5）=|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5，
∵?x₀∈R，使得$f（{x_{\;0}}）+f（{x_{\;0}}+5）-{m^2}＜4m$，
即$f（{x_{\;0}}）+f（{x_{\;0}}+5）＜4m+{m^2}$成立，
∴4m+m²＞[f（x）+f（x+5）]_min，即4m+m²＞5，解得m＜-5，或m＞1，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-5）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了絕對值不等式的解法及分段函數(shù)的應(yīng)用，分情況討論去絕對值符號是關(guān)鍵．