Question

7．已知m，n∈R⁺，f（x）=|x+m|+|2x-n|．
（1）當m=n=1時，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）的最小值為2，求證：$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$≥2．

Answer 1

分析 （1）當m=n=1時，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的最小值；
（2）確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的最小值，利用f（x）的最小值為2，結(jié)合基本不等式證明：$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$≥2．

解答 解：（1）∵當m=n=1時，$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-3x，\;\;x＜-1}\\{-x+2，\;\;-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{3x，\;x＞\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，
∴f（x）在$（{-∞，\frac{1}{2}}）$是減函數(shù)，在$（{\frac{1}{2}，+∞}）$是增函數(shù)，
∴當$x=\frac{1}{2}$時，f（x）取最小值$\frac{3}{2}$…（6分）
證明：（2）∵$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-3x-m+n，x≤-m}\\{-x+m+n，-m＜x＜\frac{n}{2}}\\{3x+m-n，x≥\frac{n}{2}}\end{array}}\right.$，
∴f（x）在$（{-∞，\frac{n}{2}}）$是減函數(shù)，在$（{\frac{n}{2}，+∞}）$是增函數(shù)，
∴當$x=\frac{n}{2}$時，f（x）取最小值$f（{\frac{n}{2}}）=m+\frac{n}{2}$．
∵m，n∈R，
∴$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{m}+\frac{2}{n}}）（{m+\frac{n}{2}}）=\frac{1}{2}（{2+\frac{2m}{n}+\frac{n}{2m}}）≥2$…（12分）

點評 本題考查絕對值函數(shù)，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查基本不等式的運用，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．