Question

14．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（1，-2），直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極坐標(biāo)建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=2cosθ，直線l和曲線C的交點(diǎn)為A，B．
（1）求直線l和曲線C的普通方程；
（2）求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （1）由代入消元法，可得直線的普通方程；運(yùn)用x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲線C的普通方程；
（2）求得直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，代入曲線C的普通方程，可得二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和參數(shù)的幾何意義，即可得到所求和．

解答 解：（1）直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
消去t，可得直線l的普通方程為x-y-3=0；
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=2cosθ，
即為ρ²sin²θ=2ρcosθ，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得
曲線C的普通方程為y²=2x；
（2）直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}m}\\{y=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}m}\end{array}\right.$（m為參數(shù)），
代入曲線C：y²=2x，
可得m²-6$\sqrt{2}$m+4=0，即有m₁+m₂=6$\sqrt{2}$，m₁m₂=4，
則|PA|+|PB|=|m₁|+|m₂|=m₁+m₂=6$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程和普通方程的互化，考查直線的參數(shù)方程的運(yùn)用，注意運(yùn)用聯(lián)立方程和韋達(dá)定理，以及參數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．