Question

12．已知直線1過(guò)點(diǎn)A（4，0），且被圓（x+3）²+（y-1）²=4能截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$．
（1）求圓心到直線l的距離；
（2）求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知結(jié)合垂徑定理求得圓心到直線l的距離；
（2）設(shè)出直線方程y=k（x-4），代入點(diǎn)到直線的距離公式求得k，則直線方程可求．

解答 解：（1）∵圓（x+3）²+（y-1）²=4的半徑為2，
直線l被圓（x+3）²+（y-1）²=4能截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$，
∴圓心到直線l的距離d=$\sqrt{{r}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}=\sqrt{4-3}=1$；
（2）由題意，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線與圓不相交，不合題意；
∴直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：y=k（x-4），即：kx-y-4k=0，
∵圓心C（-3，1）到直線l的距離d=$\frac{|-3k-1-4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，
化簡(jiǎn)得：24k²+7k=0，解k=0或k=-$\frac{7}{24}$
∴直線l的方程為：y=0或y=-$\frac{7}{24}$（x-4）．
即：y=0或7x+24y-28=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查垂徑定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．