Question

17．已知圓C經(jīng)過兩點(diǎn)A（1，1），B（-2，-2），且在y軸上截得的弦長為4$\sqrt{2}$，半徑小于4．
（1）求圓C的方程；
（2）若圓C與直線x-y+a=0交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），求a的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出圓的一般方程，由已知列式求得D，E，F(xiàn)的值，結(jié)合半徑小于4可得圓C的方程；
（2）聯(lián)立直線方程和圓的方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系取得A，B的橫縱坐標(biāo)的積，再由OA⊥OB聯(lián)立求解得答案．

解答 解：（1）設(shè)圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0．
∵圓C經(jīng)過兩點(diǎn)A（1，1），B（-2，-2），
∴D+E+F+2=0，2D+2E-F-8=0①，
又在y軸上截得的弦長為4$\sqrt{2}$，得y²+Ey+F=0的兩根差的絕對值為$4\sqrt{2}$．
即$|{y}_{1}-{y}_{2}|=\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}=\sqrt{{E}^{2}-4F}=4\sqrt{2}$，得E²-4F=32②，
聯(lián)立①②得$\left\{\begin{array}{l}{D=-2}\\{E=-4}\\{F=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{D=-10}\\{E=4}\\{F=4}\end{array}\right.$．
∵半徑小于4，∴D=-2，E=-4，F(xiàn)=4．
則圓C的方程為x²+y²-2x-4y+4=0；
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+a=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x-4y+4=0}\end{array}\right.$，得2x²+（2a-6）x+（a-2）²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=3-a，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{（a-2）^{2}}{2}$，則${y}_{1}{y}_{2}=（{x}_{1}+a）（{x}_{2}+a）={x}_{1}{x}_{2}+a（{x}_{1}+{x}_{2}）+{a}^{2}$．
∵OA⊥OB，
∴${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=2{x}_{1}{x}_{2}+a（{x}_{1}+{x}_{2}）+{a}^{2}$=$2•\frac{（a-2）^{2}}{2}+a（3-a）+{a}^{2}=0$．
即a²-a+4=0．
此方程無解．
∴滿足條件的a值不存在．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了平面向量在求解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．