Question

17．如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，AB=5，AC=6，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE=CF=$\frac{5}{4}$，EF交于BD于點H，將△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=$\sqrt{10}$．
（Ⅰ）證明：D′H⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B-D′A-C的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由底面ABCD為菱形，可得AD=CD，結合AE=CF可得EF∥AC，再由ABCD是菱形，得AC⊥BD，進一步得到EF⊥BD，由EF⊥DH，可得EF⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由線面垂直的判定得D′H⊥平面ABCD；
（Ⅱ）以H為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，由已知求得所用點的坐標，得到$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AD′}、\overrightarrow{AC}$的坐標，分別求出平面ABD′與平面AD′C的一個法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}、\overrightarrow{{n}_{2}}$，設二面角二面角B-D′A-C的平面角為θ，求出|cosθ|．則二面角B-D′A-C的正弦值可求．

解答 （Ⅰ）證明：∵ABCD是菱形，
∴AD=DC，又AE=CF=$\frac{5}{4}$，
∴$\frac{DE}{EA}=\frac{DF}{FC}$，則EF∥AC，
又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，則EF⊥BD，
∴EF⊥DH，則EF⊥D′H，
∵AC=6，
∴AO=3，
又AB=5，AO⊥OB，
∴OB=4，
∴OH=$\frac{AE}{AD}•OD$=1，則DH=D′H=3，
∴|OD′|²=|OH|²+|D′H|²，則D′H⊥OH，
又OH∩EF=H，
∴D′H⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：以H為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，
∵AB=5，AC=6，
∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，-3，0），
$\overrightarrow{AB}=（4，3，0），\overrightarrow{AD′}=（-1，3，3）$，$\overrightarrow{AC}=（0，6，0）$，
設平面ABD′的一個法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AD′}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{4x+3y=0}\\{-x+3y+3z=0}\end{array}\right.$，取x=3，得y=-4，z=5．
∴$\overrightarrow{{n}_{1}}=（3，-4，5）$．
同理可求得平面AD′C的一個法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}=（3，0，1）$，
設二面角二面角B-D′A-C的平面角為θ，
則|cosθ|=$\frac{|\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}=\frac{|3×3+5×1|}{5\sqrt{2}×\sqrt{10}}=\frac{7\sqrt{5}}{25}$．
∴二面角B-D′A-C的正弦值為sinθ=$\frac{2\sqrt{95}}{25}$．

點評 本題考查線面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，訓練了利用平面的法向量求解二面角問題，體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想方法，是中檔題．