Question

12．已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（-x）=2-f（x），若函數(shù)y=$\frac{x+1}{x}$與y=f（x）圖象的交點(diǎn)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_m，y_m），則$\sum_{i=1}^m$（x_i+y_i）=（　　）

• A． 0
• B． m
• C． 2m
• D． 4m

Answer 1

分析 由條件可得f（x）+f（-x）=2，即有f（x）關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，又函數(shù)y=$\frac{x+1}{x}$，即y=1+$\frac{1}{x}$的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，即有（x₁，y₁）為交點(diǎn)，即有（-x₁，2-y₁）也為交點(diǎn)，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（-x）=2-f（x），
即為f（x）+f（-x）=2，
可得f（x）關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，
函數(shù)y=$\frac{x+1}{x}$，即y=1+$\frac{1}{x}$的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，
即有（x₁，y₁）為交點(diǎn)，即有（-x₁，2-y₁）也為交點(diǎn)，
（x₂，y₂）為交點(diǎn)，即有（-x₂，2-y₂）也為交點(diǎn)，
…
則有$\sum_{i=1}^m$（x_i+y_i）=（x₁+y₁）+（x₂+y₂）+…+（x_m+y_m）
=$\frac{1}{2}$[（x₁+y₁）+（-x₁+2-y₁）+（x₂+y₂）+（-x₂+2-y₂）+…+（x_m+y_m）+（-x_m+2-y_m）]
=m．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的運(yùn)用：求和，考查函數(shù)的對(duì)稱性的運(yùn)用，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．