Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（4cosx，$\frac{1}{3}$），$\overrightarrow$=（sin（x+$\frac{π}{6}$），-1），且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，則sin（2x+$\frac{7π}{6}$）=（　　）

• A． -$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• B． -$\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 利用向量的數(shù)量積的定義寫出且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0的坐標(biāo)表達(dá)式，根據(jù)兩角和的正弦公式的逆運(yùn)用及二倍角公式，化簡(jiǎn)求得sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{3}$，根據(jù)誘導(dǎo)公式求得sin（2x+$\frac{7π}{6}$）的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，
∴4cosx•sin（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{3}$=0，
∴4cosxsinxcos$\frac{π}{6}$+4cosxcosxsin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{3}$，
2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1=$-\frac{2}{3}$，
$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=$-\frac{2}{3}$，
2sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$-\frac{2}{3}$，
sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{3}$，
sin（2x+$\frac{7π}{6}$）=sin（2x+$\frac{π}{6}$+π）=$\frac{1}{3}$，
故答案選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)，兩角和的正弦公式及二倍角公式，屬于中檔題．