Question

16．某沿海地區(qū)共有100戶農(nóng)民從事種植業(yè)，據(jù)調(diào)查，每戶年均收入為m萬元．為了調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，當?shù)卣�府決定動員部分種植戶從事水產(chǎn)養(yǎng)殖．據(jù)估計，如果能動員x（x＞0）戶農(nóng)民從事水產(chǎn)養(yǎng)殖，那么剩下從事種植的農(nóng)民每戶年均收入有望提高2x%，從事水產(chǎn)養(yǎng)殖的農(nóng)民每戶年均收入為$m（a-\frac{3x}{50}）$（a＞0）萬元．
（Ⅰ）在動員x戶農(nóng)民從事水產(chǎn)養(yǎng)殖后，要使從事種植的農(nóng)民的年總收入不低于動員前從事種植的年總收入，試求x的取值范圍；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，要使這100戶農(nóng)民中從事水產(chǎn)養(yǎng)殖的農(nóng)民的年總收入始終不高于從事種植的農(nóng)民的年總收入，試求實數(shù)a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題中條件：“從事蔬菜種植的農(nóng)民的年總收入不低于動員前從事蔬菜種植的年總收入”得到一個不等關(guān)系，列不等式得x的取值范圍；
（Ⅱ）問題先轉(zhuǎn)化成一個不等關(guān)系，然后轉(zhuǎn)化為恒成立問題解決．

解答 解：（Ⅰ）由題意得m（100-x）（1+2x%）≥100m，
即x²-50x≤0，解得0≤x≤50，
又因為x＞0，所以0＜x≤50；--------------------------------------------------（7分）
（Ⅱ）從事水產(chǎn)養(yǎng)殖的農(nóng)民的年總收入為$m（a-\frac{3x}{50}）x$萬元，從事種植農(nóng)民的年總收入為m（100-x）（1+2x%）萬元，根據(jù)題意得，$m（a-\frac{3x}{50}）x$≤m（100-x）（1+2x%）恒成立，
即$ax≤100+x+\frac{x^2}{25}$恒成立．
又x＞0，所以$a≤\frac{100}{x}+\frac{x}{25}+1$恒成立，
而$\frac{100}{x}+\frac{x}{25}+1$≥5（當且僅當x=50時取得等號），
所以a的最大值為5．-----------------------------------------（16分）

點評 本題主要考查函數(shù)在實際生活中的應用、恒成立問題的解法．求不等式恒成立的參數(shù)的取值范圍，是經(jīng)久不衰的話題，也是高考的熱點，它可以綜合地考查中學數(shù)學思想與方法，體現(xiàn)知識的交匯．