Question

7．已知P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上一個動點(diǎn)，過P作圓（x-1）²+y²=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A﹑B，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍是[$2\sqrt{2}-3，\frac{56}{9}$]．

Answer 1

分析 由題意設(shè)PA與PB的夾角為2θ，通過解直角三角形求出PA，PB的長，利用向量的數(shù)量積公式表示出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$，利用三角函數(shù)的二倍角公式化簡，換元后再利用基本不等式求出最值得答案．

解答 解：如圖，由題意設(shè)PA與PB的夾角為2θ，
則|PA|=PB|=$\frac{1}{tanθ}$
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PB}|cos2θ$=$\frac{1}{ta{n}^{2}θ}•cos2θ=\frac{1+cos2θ}{1-cos2θ}•cos2θ$．
設(shè)cos2θ=t，則y=$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\frac{t（1+t）}{1-t}$=$（1-t）+\frac{2}{1-t}-3$$≥2\sqrt{2}-3$，
∵P在橢圓的左頂點(diǎn)時，sinθ=$\frac{1}{3}$，∴cos2θ=$\frac{7}{9}$，
此時$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最大值為$\frac{1+\frac{7}{9}}{1-\frac{7}{9}}×\frac{7}{9}=\frac{56}{9}$
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍是：[$2\sqrt{2}-3，\frac{56}{9}$]．
故答案為：[$2\sqrt{2}-3，\frac{56}{9}$]．

點(diǎn)評 本題考查圓的切線的性質(zhì)、三角函數(shù)的二倍角公式、向量的數(shù)量積公式、基本不等式求函數(shù)的最值，屬于中檔題