Question

F₁，F(xiàn)₂是雙曲線

x2

9

-

y2

7

=1的兩個焦點，A為雙曲線上一點，且∠AF₁F₂=45°，則△AF₁F₂的面積為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由雙曲線

x2

9

-

y2

7

=1可得a²=9，b²=7，c²=a²+b²，c=4．由于∠AF₁F₂=45°，可得直線AF₁的方程為y=x+4．與雙曲線方程聯(lián)立可得y_A，再利用三角形面積計算公式即可得出．

解答： 解：由雙曲線

x2

9

-

y2

7

=1可得a²=9，b²=7，c²=a²+b²=16，
∴c=4．
∴F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）．
∵∠AF₁F₂=45°，
∴直線AF₁的方程為y=x+4．
聯(lián)立

y=x+4 x2 9 - y2 7 =1

，化為2y²+56y-49=0，
解得y=

-28±7 17

2

．
取y=

7 17 -28

2

∴△AF₁F₂的面積=

1

2

•2c•|yA|=14

17

-56．
故答案為：14

17

-56．

點評：本題考查了直線與雙曲線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立求得交點坐標(biāo)、三角形面積計算公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．