Question

9．若函數(shù)f（x）=sinax-cosax（a＞0）的圖象與直線y=m（m為常數(shù)）相切，并且切點的橫坐標(biāo)依次成等差數(shù)列，且公差為π．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，若$f（\frac{B}{2}）=\sqrt{2}$，且a、b、c成等比數(shù)列，b=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用輔助角公式，由題意可得T，進(jìn)一步求得a，則函數(shù)解析式可求；
（2）由$f（\frac{B}{2}）=\sqrt{2}$求得B，再由已知求得ac的值，代入三角形面積公式得答案．

解答 解：（1）由條件知，f（x）=sinax-cosax=$\sqrt{2}sin（ax-\frac{π}{4}）$，且T=π，
∴T=$π=\frac{2π}{a}$，則a=2，
∴f（x）=$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$；
（2）由（1）知f（$\frac{B}{2}$）=$\sqrt{2}sin（B-\frac{π}{4}）=\sqrt{2}$，即sin（B-$\frac{π}{4}$）=1，
∵0＜B＜π，∴B-$\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，得B=$\frac{3π}{4}$．
又∵b²=ac，b=2，∴ac=4．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}ac•sinB=\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，訓(xùn)練了利用正弦定理求三角形的面積，是中檔題．