Question

4．已知函數(shù)f（x）=（-ax²-2x+a）•e^x（a∈R）．
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)=-2代入f（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，即f′（x）≤0在[-1，1]上恒成立，對(duì)a進(jìn)行分類討論即可解出a的取值范圍．

解答 解：（1）a=-2時(shí)，f（x）=（2x²-2x-2）•e^x，定義域?yàn)镽．
f′（x）=（2x²-2x-2）•e^x+（4x-2）•e^x=2（x-1）（x+2）•e^x．
由f′（x）＞0得x＜-2或x＞1，由f′（x）＜0，得-2＜x＜1，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-2），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-2，1）．
（2）f′（x）=（-ax²-2x+a）•e^x+（-2ax-2）•e^x=-[ax²+2（a+1）x+2-a]•e^x．
令g（x）=-ax²-2（a+1）x+a-2．
①當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=-2x-2，在（-1，1）內(nèi)g（x）＜0，f′（x）＜0，
函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減．
②當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）=-ax²-2（a+1）x+a-2是二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為x=-1-$\frac{1}{a}$＜-1，
當(dāng)且僅當(dāng)g（-1）≤0，即a≤0時(shí)，f′（x）≤0，此時(shí)無(wú)解．
③當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）=-ax²-2（a+1）x+a-2是二次函數(shù)，
當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=a≤0}\\{g（1）=-2a-4≤0}\end{array}\right.$．∴-2≤a＜0時(shí)，f′（x）≤0，
此時(shí)函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-2，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f（x）來(lái)說(shuō)，f′（x）≤0（不總為0）是f（x）在某區(qū)間上單調(diào)遞減的充要條件．