Question

若（

a

x

-

x 2

）⁹的展開式中x³項(xiàng)的系數(shù)為

9

4

．
（1）求a的值；
（2）求證：a¹⁵-1能被2a-1整除．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,整除的基本性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）直接利用二項(xiàng)式定理的展開式求出常數(shù)項(xiàng)，得到關(guān)系式即可求a的值；
（2）通過(guò)（1）化簡(jiǎn)a¹⁵-1，利用二項(xiàng)式定理，證明表達(dá)式能被2a-1整除．

解答： （本小題滿分16分）
解：（1）通項(xiàng)T_r+1=C₉^r(

a

x

)9-r•(-

x 2

)r=C₉^ra^9-r（-

1

2

）^rx

3r

2

-9，
令

3r

2

-9=0 得r=8，
∴C₉⁸a^9-8（-

1

2

）⁸=

9

16

a=

9

4

，
∴a=4．
（2）當(dāng)a=4時(shí)，2a-1=7，
a¹⁵-1=2³⁰-1
=（7+1）¹⁰-1
=C₁₀⁰7¹⁰+C₁₀¹7⁹+…+C₁₀¹⁰-1
=C₁₀⁰7¹⁰+C₁₀¹7⁹+…+C₁₀⁹7，
因?yàn)槊恳豁?xiàng)都是7的倍數(shù)，所以能被7整除．得證．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查基本知識(shí)的應(yīng)用．