Question

5．設(shè)F是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一個(gè)焦點(diǎn)．若C上存在點(diǎn)P，使線段PF的中點(diǎn)恰為其虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，則C的離心率為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)F（c，0），P（m，n），（m＜0），設(shè)PF的中點(diǎn)為M（0，b），即有m=-c，n=2b，將中點(diǎn)M的坐標(biāo)代入雙曲線方程，結(jié)合離心率公式，計(jì)算即可得到．

解答 解：設(shè)F（c，0），P（m，n），（m＜0），
設(shè)PF的中點(diǎn)為M（0，b），
即有m=-c，n=2b，
將點(diǎn)（-c，2b）代入雙曲線方程可得，
$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4^{2}}{^{2}}$=1，
可得e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=5，
解得e=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的離心率的求法，同時(shí)考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式的運(yùn)用，屬于中檔題．