Question

9．已知正四面體A-BCD，棱長(zhǎng)AD=2，則正四面體的外接球的體積為多少？

Answer 1

分析 設(shè)正四面體的所有棱長(zhǎng)均為2，所以此三棱錐一定可以放在棱長(zhǎng)為$\sqrt{2}$的正方體中，外接球的直徑為正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，即可求出這個(gè)正四面體外接球的體積．

解答 解：∵正四面體A-BCD，棱長(zhǎng)AD=2，
∴此三棱錐一定可以放在正方體中，∴正方體的棱長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，
∴此四面體的外接球即為此正方體的外接球，
∵外接球的直徑為正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，
∴外接球的半徑為R=$\frac{1}{2}•\sqrt{3}•\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴球的體積為V=$\frac{4}{3}$πR³=$\sqrt{6}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的接體問(wèn)題，考查了空間想象能力，其解答的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，求出接體幾何元素的數(shù)據(jù)，代入面積、體積公式分別求解．