Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+6|-|x-4|
（Ⅰ）解不等式f（x）＞3；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由絕對(duì)值的含義對(duì)x討論，x＜-3，-3≤x≤4，x＞4，去掉絕對(duì)值解一次不等式，再求并集即可得到解集；
（Ⅱ）對(duì)x討論，x＜-3，-3≤x≤4，x＞4，求得f（x）的取值范圍，再求并集，即可得到最小值．

解答 解：（Ⅰ）原不等式等價(jià)于不等式組$\left\{\begin{array}{l}x＜-3\\-2x-6+x-4＞3\end{array}\right.$⇒x＜-13；
或$\left\{\begin{array}{l}{-3≤x≤4}\\{2x+6+x-4＞3}\end{array}\right.$⇒$\frac{1}{3}$＜x≤4；
或$\left\{\begin{array}{l}x＞4\\ 2x+6-x+4＞3\end{array}\right.$⇒x＞4．
解得x＜-13或$x＞\frac{1}{3}$，
則解集為（-∞，-13）∪（$\frac{1}{3}$，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)x＜-3時(shí)，f（x）=-x-10，即有f（x）＞-7；
當(dāng)-3≤x≤4，f（x）=3x+2，即有-7≤f（x）≤14；
當(dāng)x≥4時(shí)，f（x）=x+10，即有f（x）≥14．
即函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)閇-7，+∞）．
則有當(dāng)x=-3時(shí)，f（x）有最小值-7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，主要考查分類討論的思想方法，考查函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．