Question

17．（1）設(shè)函數(shù)$f（x）=|\frac{1}{2}x+1|+|x|（x∈R）$，求f（x）的最小值，
（2）當(dāng)a+2b+3c=m（a，b，c∈R）時，求a²+b²+c²的最小值．

Answer 1

分析 （1）寫出分段函數(shù)$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}x-1，x＜-2}\\{-\frac{1}{2}x+1，-2≤x≤0}\\{\frac{3}{2}x+1，x＞0}\end{array}\right.$，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)f（x）的最小值；
（2）由柯西不等式（a²+b²+c²）（1²+2²+3²）≥（a+2b+3c）²=1，可得a²+b²+c²的最小值．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}x-1，x＜-2}\\{-\frac{1}{2}x+1，-2≤x≤0}\\{\frac{3}{2}x+1，x＞0}\end{array}\right.$，
當(dāng)x∈（-∞，0]時，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈[0，+∞）時，f（x）單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x=0時，f（x）的最小值m=1． …（5分）
（2）由柯西不等式（a²+b²+c²）（1²+2²+3²）≥（a+2b+c）²=1，
故a²+b²+c²≥$\frac{1}{14}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{1}{14}$，b=$\frac{1}{7}$，c-$\frac{3}{14}$時取等號
∴a²+b²+c²的最小值為$\frac{1}{14}$．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查絕對值不等式的解法，考查二維形式的柯西不等式，屬于中檔題．