Question

4．如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圓O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．
（Ⅰ）求證：平面DAF⊥平面CBF；
（Ⅱ）設(shè)幾何體F-ABCD、F-BCE的體積分別為V₁、V₂，求V₁：V₂的值．

Answer 1

分析 （1）由面面垂直可得AD⊥平面ABEF，從而得到AD⊥BF，由直徑的性質(zhì)得BF⊥AF，故得出BF⊥平面ADF，從而得出平面DAF⊥平面CBF；
（2）V_F-BCE=V_C-BEF，設(shè)AD=a，則可用a表示出V₁，V₂．從而得出體積比．

解答 證明：（1）∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AD⊥AB，AD?平面ABCD，
∴AD⊥平面ABEF，∵BF?平面ABE，
∴AD⊥BF，
∵AB是圓O的直徑，
∴BF⊥AF，又AD?平面ADF，AF?平面ADF，AD∩AF=A，
∴BF⊥平面ADF，∵BF?平面BCF，
∴平面DAF⊥平面CBF．
（2）．連結(jié)OE，OF，則OE=OF=EF=1，
∴△AOF，△OEF，△BOE是等邊三角形，
過F作FM⊥AB于M，則FM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，F(xiàn)M⊥平面ABCD，
設(shè)AD=BC=a，
則V₁=V_F-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{矩形ABCD}•FM$=$\frac{1}{3}×2a×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}a}{3}$．
V₂=V_F-BCE=V_C-BEF=$\frac{1}{3}{S}_{△BEF}•BC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}×a$=$\frac{\sqrt{3}a}{12}$．
∴V₁：V₂=$\frac{\sqrt{3}a}{3}$：$\frac{\sqrt{3}a}{12}$=4：1．

點評 本題考查了面面垂直的性質(zhì)與判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．