Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=a₁sin（x+a₁）+a₂sin（x+a₂）+…+a_nsin（x+a_n），其中a_i，a_j（i=1，2，…，n，n∈N^*，n≥2）為已知實(shí)常數(shù)，x∈R，下列關(guān)于函數(shù)f（x）的性質(zhì)判斷正確的個(gè)數(shù)是（　�。�
①若f（0）=f（$\frac{π}{2}$）=0，則f（x）=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立；
②若f（0）=0，則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
③若f（$\frac{π}{2}$）=0，則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
④當(dāng)f²（0）+f²（$\frac{π}{2}$）≠0時(shí)，若f（x₁）=f（x₂）=0，則x₁-x₂=kπ（k∈Z）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 對(duì)于②，先由f（0）=0，得出a₁•sin（α₁）+a₂•sin（α₂）+…+a_n•sin（α_n）=0，要判斷函數(shù)為奇函數(shù)，只需驗(yàn)證f（-x）+f（x）=0；
對(duì)于③，先由f（$\frac{π}{2}$）=0，得出-a₁•cos（α₁）-a₂•cos（α₂）+…-a_n•cos（α_n）=0，要判斷函數(shù)為偶函數(shù)，只需驗(yàn)證f（-x）-f（x）=0；
對(duì)于①：由①知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，由②知函數(shù)為偶函數(shù)，從而f（x）=0；
對(duì)于④：當(dāng)f²（0）+f²（$\frac{π}{2}$）≠0時(shí)，由f（x₁）=f（x₂）=0，得（sinx₁-sinx₂）（a₁cosα₁+…+a_ncosα_n）+（cosx₁-cosx₂）（a₁sinα₁+…+a_nsinα_n）=0，故可得結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=a₁sin（x+a₁）+a₂sin（x+a₂）+…+a_nsin（x+a_n），
其中a_i，a_j（i=1，2，…，n，n∈N^*，n≥2）為已知實(shí)常數(shù)，x∈R，
對(duì)于②：若f（0）=0，則f（0）=a₁•sin（α₁）+a₂•sin（α₂）+…+a_n•sin（α_n）=0，
f（-x）+f（x）=a₁•sin（-x+α₁）+a₂•sin（-x+α₂）+…+a_n•sin（-x+α_n）+a₁•sin（x+α₁）+a₂•sin（x+α₂）+…+a_n•sin（x+α_n）
=2cosx[a₁•sinα₁+a₂•sinα₂+…+a_n•sinα_n]=0，
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，故②正確．
對(duì)于③：若f（$\frac{π}{2}$）=0，則f（$\frac{π}{2}$）=a₁•sin（$\frac{π}{2}$+α₁）+a₂•sin（$\frac{π}{2}$+α₂）+…+a_n•sin（$\frac{π}{2}$+α_n）
=-a₁•cos（α₁）-a₂•cos（α₂）-…-a_n•cos（α_n）=0，
∴f（-x）-f（x）=a₁•sin（-x+α₁）+a₂•sin（-x+α₂）+…+a_n•sin（-x+α_n）
-a₁•sin（x+α₁）-a₂•sin（x+α₂）-…-a_n•sin（x+α_n）=2sinx[a₁•cosα₁+a₂•cosα₂+…+a_n•cosα_n]=0，
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，故③正確．
對(duì)于①：若f（0）=f（$\frac{π}{2}$）=0，則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，也為偶函數(shù)，
∴f（x）=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，故①正確．
對(duì)于④：當(dāng)f²（0）+f²（$\frac{π}{2}$）≠0時(shí)，若f（x₁）=f（x₂）=0，
則f（x₁）=a₁•sin（x₁+α₁）+a₂•sin（x₁+α₂）+…+a_n•sin（x₁+α_n）
=f（x₂）=a₁•sin（x₂+α₁）+a₂•sin（x₂+α₂）+…+a_n•sin（x₂+α_n）=0，
∴（sinx₁-sinx₂）（a₁cosα₁+…+a_ncosα_n）+（cosx₁-cosx₂）（a₁sinα₁+…+a_nsinα_n）=0，
∴sinx₁-sinx₂ =0，可得x₁-x₂=kπ（k∈Z），故④正確．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查新定義三角函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是一一判斷，屬于中檔題．