Question

20．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，直線x=a與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為A，且直線AF與雙曲線的一條漸近線關于直線y=b對稱，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． 3
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由題意可得F（c，0），求出雙曲線的一條漸近線方程，解得A（a，b），求得直線AF的斜率，由對稱思想可得直線AF的斜率和漸近線的斜率互為相反數．再由離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得F（c，0），
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
令x=a，可得A（a，b），
可得直線AF的方程為y=$\frac{a-c}$（x-c），
由于直線y=b經過A，且斜率為0，
由對稱性可得直線AF的斜率和漸近線的斜率互為相反數．
即有$\frac{a}$=-$\frac{a-c}$，
即為a=c-a，可得c=2a，
離心率e=$\frac{c}{a}$=2．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用漸近線方程和直線關于直線對稱的思想，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．