Question

8．已知函數(shù)f（x）=|x-3|．
（Ⅰ）若不等式f（x-1）+f（x）＜a的解集為空集，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜3，且a≠0，判斷$\frac{f（ab）}{|a|}$與$f（\frac{a}）$的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)絕對值的幾何意義求出f（x-1）+f（x）的最小值，從而求出a的范圍；（Ⅱ）根據(jù)分析法證明即可．

解答 解：（Ⅰ）因為f（x-1）+f（x）=|x-4|+|x-3|≥|x-4+3-x|=1，
不等式f（x-1）+f（x）＜a的解集為空集，
則1≥a即可，所以實數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]．…（5分）
（Ⅱ）$\frac{f（ab）}{|a|}＞f（\frac{a}）$，
證明：要證$\frac{f（ab）}{|a|}＞f（\frac{a}）$，
只需證|ab-3|＞|b-3a|，
即證（ab-3）²＞（b-3a）²，
又（ab-3）²-（b-3a）²=a²b²-9a²-b²+9=（a²-1）（b²-9）．
因為|a|＜1，|b|＜3，
所以（ab-3）²-（b-3a）²＞0，
所以原不等式成立．…（10分）

點評 本題考查了絕對值的幾何意義，考查不等式的大小比較，是一道中檔題．