Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知角β的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，始邊在x軸的正半軸上，終邊經(jīng)過點(diǎn)P（-4，3）
（1）求sinβ與sin2β的值
（2）已知函數(shù)f（x）=3cos（x-$\frac{π}{4}$），求函數(shù)f（x）的最大值和最小正周期，并求f（β）的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義求得sinβ、cosβ的值，再利用二倍角公式求得sin2β的值．
（2）由條件利用余弦函數(shù)的周期性和最值求得函數(shù)f（x）的最大值和周期，再利用兩角差的余弦公式求得f（β）的值．

解答 解：（1）平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知角β的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，始邊在x軸的正半軸上，終邊經(jīng)過點(diǎn)P（-4，3）
∴x=-4，y=3，r=|OP|=5，∴sinβ=$\frac{y}{r}$=$\frac{3}{5}$，cosβ=$\frac{x}{r}$=-$\frac{4}{5}$，
∴sin2β=2sinβcosβ=-$\frac{24}{25}$．
（2）∵已知函數(shù)f（x）=3cos（x-$\frac{π}{4}$），故函數(shù)f（x）的最大值為3，
最小正周期為2π，f（β）=3cos（β-$\frac{π}{4}$）=3cosβcos$\frac{π}{4}$+3sinβsin$\frac{π}{4}$=-$\frac{3\sqrt{2}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，二倍角公式；余弦函數(shù)的周期性和最值，兩角差的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題．