Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{2}^{x}-1|，x＜2}\\{\frac{3}{x-1}，x≥2}\end{array}\right.$若函數(shù)g（x）=f[f（x）]-2的零點個數(shù)為（　�。�

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{2}^{x}-1|，x＜2}\\{\frac{3}{x-1}，x≥2}\end{array}\right.$，通過對x分類討論可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{2}^{x}-1|∈[0，2]，}&{x∈（-∞，lo{g}_{2}3）}\\{{2}^{x}-1∈（2，3），}&{x∈[lo{g}_{2}3，2）}\\{\frac{3}{x-1}∈（2，3]，}&{2≤x＜\frac{5}{2}}\\{\frac{3}{x-1}∈（0，2]，}&{x≥\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．進(jìn)而解出即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{2}^{x}-1|，x＜2}\\{\frac{3}{x-1}，x≥2}\end{array}\right.$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{2}^{x}-1|∈[0，2]，}&{x∈（-∞，lo{g}_{2}3）}\\{{2}^{x}-1∈（2，3），}&{x∈[lo{g}_{2}3，2）}\\{\frac{3}{x-1}∈（2，3]，}&{2≤x＜\frac{5}{2}}\\{\frac{3}{x-1}∈（0，2]，}&{x≥\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
∴x∈（-∞，log₂3）時，f（f（x））=$|{2}^{|{2}^{x}-1|}-1|$∈[0，3]，令f（f（x））=2，解得x=log₂（1+log₂3）．
同理可得：x∈[log₂3，2）時，$\frac{3}{{2}^{x}-1-1}$=2，解得x=$lo{g}_{2}\frac{7}{2}$．
x∈$[2，\frac{5}{2}）$時，$\frac{3}{\frac{3}{x-1}-1}$=2，解得x=$\frac{11}{5}$．
$x≥\frac{5}{2}$時，$|{2}^{\frac{3}{x-1}}-1|$=2，解得x=1+$\frac{3}{lo{g}_{2}3}$．
綜上可得：函數(shù)g（x）=f[f（x）]-2的x零點個數(shù)為4．
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．