Question

8．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（1，1），B（2，0），|$\overrightarrow{OC}$|=1．
（1）求$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$夾角；
（2）若$\overrightarrow{OC}$與$\overrightarrow{OA}$垂直，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）求|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知，得到$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的坐標(biāo)，然后根據(jù)數(shù)量積求夾角；
（2）由$\overrightarrow{OC}$與$\overrightarrow{OA}$垂直，得到數(shù)量積為0，得到點(diǎn)C的坐標(biāo)的方程解之；
（3）根據(jù)|$\overrightarrow{OC}$|=1，結(jié)合|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$|的幾何意義求最值．

解答 解：因?yàn)樵谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（1，1），B（2，0），所以$\overrightarrow{OA}=（1，1），\overrightarrow{OB}=（2，0）$，
所以（1）$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$夾角的余弦值為$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB|}}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以?shī)A角為45°；
（2）設(shè)$\overrightarrow{OC}$=（x，y）．因?yàn)?\overrightarrow{OC}$與$\overrightarrow{OA}$垂直，又|$\overrightarrow{OC}$|=1．
所以$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，所以C（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$），或C（$-\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
（3）由以上得到$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=（3+x，1+y），|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$|²=（x+3）²+（y+1）²，又x²+y²=1，所以|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$|的最大值為$\sqrt{10}+1$，最小值為$\sqrt{10}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的運(yùn)算，采用了坐標(biāo)化的方法，使問(wèn)題代數(shù)化．屬于中檔題．