Question

已知函數(shù)f（x）對任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，f（1）=1．
（1）判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）求f（x）在[-4，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用單調(diào)性的定義，可以證出f（x）為R上的增函數(shù)；
（2）結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)，f（1）=1，不難得到函數(shù)f（x）在[-4，4]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0
∴f（x₂-x₁）＞0
又∵f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，可得f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）為R上的增函數(shù)；
（2）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0
令y=-x，得f（-x+x）=f（x）+f（-x）
即f（0）=f（x）+f（-x）
∴f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x）
因此f（x）為R上的奇函數(shù)．
∵f（1）=1，
∴令x=y=1，有f（1+1）=f（1）+f（1），
∴f（2）=2，∴f（4）=f（2）+f（2）=4，
∴f（-4）=-4，
∴f（x）在[-4，4]上的最大值為4，最小值是-4．

點(diǎn)評：本題以抽象函數(shù)為例，求函數(shù)的單調(diào)性的奇偶性，著重考查了函數(shù)的簡單性質(zhì)和函數(shù)的值域求法等知識點(diǎn)，屬于中檔題．