Question

4．在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{FC}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用向量的基本定理結(jié)合向量中點(diǎn)公式，分別表示出$\overrightarrow{AE}$和$\overrightarrow{FC}$，利用向量數(shù)量積的公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求解．

解答 解：∵E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD，
∴各個(gè)側(cè)面都是正三角形，
則∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{FC}$=-$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}$=-$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）•（\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}）$
=-（$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AC}$）
=-$\frac{1}{4}（1×1×cos60°+1×1×cos60°-2×cos60°-2）$
=-（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間向量的數(shù)量積的計(jì)算，根據(jù)條件結(jié)合向量基本定理，求出$\overrightarrow{AE}$和$\overrightarrow{FC}$的表達(dá)式，結(jié)合向量數(shù)量積的定義和公式是解決本題的關(guān)鍵．