Question

設f（x）=sinx+cosx（0≤x≤π）
（Ⅰ）求f（x）的最大值及取得最大值時x的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若f（α）=

1

5

，求sin(2α-

π

2

)的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數(shù),兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用兩角和與差三角函數(shù)化簡解析式，求出相位的范圍，即可求f（x）的最大值及取得最大值時x的值；
（Ⅱ）直接利用正弦函數(shù)的單調(diào)求解求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若f（α）=

1

5

，解法一，利用已知條件，通過平方，二倍角的正弦函數(shù)求出sin2α，cos2α，然后利用兩角和的正弦函數(shù)去sin(2α-

π

2

)的值．
解法二，求解sin(α+

π

4

)，cos(α+

π

4

)，然后求解所求表達式的值即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

2

sin(x+

π

4

)，（3分）
∵0≤x≤π，∴

π

4

≤x+

π

4

≤

5π

4

，（4分）
所以當x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

4

時，（5分）
f（x）有最大值

2

；（6分）
（Ⅱ）當0≤x+

π

4

≤

π

2

時f（x）單調(diào)增，（7分）
當

π

2

≤x+

π

4

≤π時f（x）單調(diào)減，（8分）
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[0，

π

4

]，單調(diào)減區(qū)間是[

π

4

，π]；（10分）
（Ⅲ）解法一：∵sinα+cosα=

1

5

，0≤α≤π，∴

π

2

≤α≤

3π

4

∴π≤2α≤

3π

2

，（11分）
∵(sinα+cosα)2=

1

25

∴sin2α=-

24

25

∴cos2α=-

7

25

（13分）
∴sin(2α-

π

2

)=-cos2α=

7

25

（14分）
解法二：∵f(α)=

1

5

，0≤α≤π，即sin(α+

π

4

)=

2

10

＜

2

2

∴

3π

4

＜α+

π

4

≤π（11分）
∴cos(α+

π

4

)=-

7 2

10

∴sin(2α+

π

2

)=2sin(α+

π

4

)cos(α+

π

4

)=-

7

25

，即cos2α=-

7

25

．（13分）
∴sin(2α-

π

2

)=-cos2α=

7

25

．（14分）

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，兩角和與差的三角函數(shù)的應用，考查計算能力以及轉(zhuǎn)化思想．