Question

【題目】已知函數(shù)

（1）討論函數(shù)f（x）的極值點的個數(shù)；

（2）若f（x）有兩個極值點x1、x2，證明：f（x1）+f（x2）＞3-4ln2．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（ⅰ）時，僅有一個極值點；（ⅱ） 當時，無極值點；

（ⅲ）當時，有兩個極值點．（Ⅱ）詳見解析

【解析】試題（Ⅰ）先求導(dǎo)數(shù)，再確定導(dǎo)函數(shù)零點情況，這需分類討論：一次與二次的討論，二次中有根與無根的討論，兩根情況分相等、一正一負、兩不等正根，最后根據(jù)對應(yīng)情況確定導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，確定對應(yīng)極值點個數(shù)；（Ⅱ）由（Ⅰ）先確定有兩個極值點時，的取值范圍,以及滿足條件，再化簡為的函數(shù)，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性證明不等式.

試題解析：解：（Ⅰ）由得，

（ⅰ）時， ，

所以取得極小值，是的一個極小值點．

（ⅱ）時，，令，得

顯然，，所以，

在取得極小值，有一個極小值點．

（ⅲ）時，時，即在是減函數(shù)，無極值點．

當時，，令，得

當和時，時，，所以在取得極小值，在取得極大值，所以有兩個極值點．

綜上可知：（ⅰ）時，僅有一個極值點；

（ⅱ） 當時，無極值點；

（ⅲ）當時，有兩個極值點．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當且僅當時，有極小值點和極大值點，且

是方程的兩根，所以，

，

設(shè)，，

所以時，是減函數(shù)，，則

所以得證．