Question

11．已知圓M的方程為x²+y²-2x-2y-6=0，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓N內(nèi)切于圓M．
（1）求圓N的方程；
（2）圓N與x軸交于E、F兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比數(shù)列，求$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用兩圓相內(nèi)切的性質(zhì)即可得出；
（2）利用等比數(shù)列的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：圓M的方程可整理為（x-1）²+（y-1）²=8，可得圓心M（1，1），R=2$\sqrt{2}$．
（1）圓N的圓心為（0，0），設(shè)其半徑為r
，故|MN|=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵圓N內(nèi)切于圓M，∴有|MN|=R-r，即$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$-r，解得r=$\sqrt{2}$．
∴圓N的方程為x²+y²=2．
（2）不妨設(shè)E（m，0），F(xiàn)（n，0），且m＜n．
由$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+{y}^{2}=2\\ y=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=±\sqrt{2}}\\{y=0}\end{array}\right.$，
故E（-$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)（$\sqrt{2}$，0）．
設(shè)D（x，y），由|DE|、|DO|、|DF|成等比數(shù)列，
得|DO|²=|DE|×|DF|，
即$\sqrt{（x+\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}$×$\sqrt{（x-\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}$=x²+y²，
整理得x²-y²=1．
由于點(diǎn)D在圓N內(nèi)，故有$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+{y}^{2}＜2\\{x}^{2}-{y}^{2}=1\end{array}\right.$，由此得y²＜$\frac{1}{2}$．
而$\overrightarrow{DE}$=（-$\sqrt{2}$-x，-y），$\overrightarrow{DF}$=（$\sqrt{2}$-x，-y），
∴$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$=（-$\sqrt{2}$-x）（$\sqrt{2}$-x）+（-y）（-y）=x²+y²-2=2y²-1，
∴$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$∈[-1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩圓相內(nèi)切的性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．