Question

8．在△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsin（B+C）=$\sqrt{3}$asin（$\frac{π}{2}$-B）．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若b=2$\sqrt{3}$，求△ABC周長的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用誘導公式，結合正弦定理，同角的商數關系，可得角B；
（Ⅱ）由余弦定理，可得a，c的關系，結合基本不等式，即可得到周長的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由bsin（B+C）=$\sqrt{3}$asin（$\frac{π}{2}$-B），
得：bsinA=$\sqrt{3}$acosB，
結合正弦定理有：sinBsinA=$\sqrt{3}$sinAcosB，
因為在△ABC中，sinA≠0，
所以sinB=$\sqrt{3}$cosB，
即tanB=$\sqrt{3}$． 
又0＜B＜π，
則B=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）由余弦定理 b²=c²+a²-2accosB，
因為B=$\frac{π}{3}$，b=2$\sqrt{3}$，
所以12=a²+c²-ac，即（a+c）²-12=3ac． ①
因為ac≤（$\frac{a+c}{2}$）²，②
由①②得（a+c）²-12≤3•（$\frac{a+c}{2}$）²，
解得a+c≤4$\sqrt{3}$．
所以當且僅當a=c=2$\sqrt{3}$時，△ABC周長的最大值為6$\sqrt{3}$．

點評 本題考查正弦定理和余弦定理的運用，考查同角公式和誘導公式的運用，基本不等式的運用，屬于中檔題．