Question

13．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，直線l₁：x=2，直線l₂：y=-t²+8t（其中0≤t≤2，t為常數(shù)），若直線l₁、l₂與函數(shù)f（x）的圖象以及l(fā)₁、l₂、y軸與函數(shù)f（x）的圖象所圍成的封閉圖形（陰影部分）如圖所示．
（1）求a、b、c的值；
（2）求陰影部分面積S關于t的函數(shù)S（t）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由圖象可知函數(shù)圖象過點（0，0），（8，0），并且f（x）的最大值為16，分別代入即可解得a、b、c的值
（2）先求出直線l₁：y=-t²+8t（其中0≤t≤2．t為常數(shù)）與拋物線f（x）=-x²+8x的交點橫坐標（用t表示），再利用定積分的幾何意義求兩部分面積之和即可．

解答 解：（I）由圖形可知二次函數(shù)的圖象過點（0，0），（8，0），并且f（x）的最大值為16
則$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{a•{8}^{2}+8b+c=0}\\{\frac{4ac-^{2}}{4a}=16}\end{array}\right.$，解得a=-1，b=8，c=0
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=-x²+8x．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-{t}^{2}+8t}\\{y=-{x}^{2}+8x}\end{array}\right.$得x²-8x-t（t-8）=0，∴x₁=t，x₂=8-t，
∵0≤t≤2，
∴直線l₁與f（x）的圖象的交點坐標為（t，-t²+8t）
由定積分的幾何意義知：
S（t）=${∫}_{0}^{t}$[（-t²+8t）-（-x²+8x）]dx+${∫}_{t}^{2}$[（-x²+8x）-（-t²+8t）]dx
=[（-t²+8t）x-（-$\frac{1}{3}$x³+4x²）]|${\;}_{0}^{t}$+=[（-$\frac{1}{3}$x³+4x²）-（-t²+8t）x]|${\;}_{t}^{2}$ 
=$\frac{4}{3}{t}^{3}+10{t}^{2}-16t+\frac{40}{3}$．

點評 本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象和性質、定積分的幾何意義、導數(shù)與函數(shù)零點等多個知識點，解題時要綜合掌握各種知識．