Question

2．為迎接2014年“雙十一”網(wǎng)購(gòu)狂歡節(jié)，某廠家擬投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)，對(duì)網(wǎng)上所售產(chǎn)品進(jìn)行促銷．經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該促銷產(chǎn)品在“雙十一”的銷售量p萬(wàn)件與促銷費(fèi)用x萬(wàn)元滿足：p=3-$\frac{2}{x+1}$（其中0≤x≤a，a為正常數(shù)）．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本10+2p萬(wàn)元（不含促銷費(fèi)用），產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為（4+$\frac{20}{p}$）元/件，假定廠家的生產(chǎn)能力完全能滿足市場(chǎng)的銷售需求．
（Ⅰ）將該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為促銷費(fèi)用x萬(wàn)元的函數(shù)；
（Ⅱ）促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)產(chǎn)品的利潤(rùn)=銷售額-產(chǎn)品的成本建立函數(shù)關(guān)系；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)基本不等式可求出該函數(shù)的最值，注意等號(hào)成立的條件．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，y=$（4+\frac{20}{p}）p-x-（10+2p）$，
將p=3-$\frac{2}{x+1}$代入化簡(jiǎn)得：$y=16-\frac{4}{x+1}-x$（0≤x≤a）；
（Ⅱ）$y′=-1-\frac{-4}{（x+1）^{2}}$=$\frac{-（x+1）^{2}+4}{（x+1）^{2}}$=$-\frac{{x}^{2}+2x-3}{（x+1）^{2}}$=-$\frac{（x+3）（x-1）}{（x+1）^{2}}$，
當(dāng)a≥1時(shí)，x∈（0，1）時(shí)y'＞0，所以函數(shù)$y=16-\frac{4}{x+1}-x$在（0，1）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（1，a）時(shí)y'＜0，所以函數(shù)$y=16-\frac{4}{x+1}-x$在（1，a）上單調(diào)遞減，
從而促銷費(fèi)用投入1萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大；
當(dāng)a＜1時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)$y=16-\frac{4}{x+1}-x$在（0，1）上單調(diào)遞增，
所以在[0，a]上單調(diào)遞增，故當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)有最大值．
即促銷費(fèi)用投入a萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．
綜上，當(dāng)a≥1時(shí)，促銷費(fèi)用投入1萬(wàn)元，廠家的利潤(rùn)最大，為$16-\frac{4}{1+1}-1$=13 萬(wàn)元；
當(dāng)a＜1時(shí)，促銷費(fèi)用投入a萬(wàn)元，廠家的利潤(rùn)最大，為$16-\frac{4}{a+1}-a$ 萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．