Question

8．雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a、b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，過F₂作一條直線與兩條漸近線分別交于P、Q兩點，線段QF₂的垂直平分線恰好為雙曲線C的一條漸近線，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，求得焦點到漸近線的距離為b，運用垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理可得|OP|=a，結(jié)合離心率公式和銳角的余弦函數(shù)的定義計算即可得到．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a、b＞0）的漸近線方程分別是l₁：y=$\frac{a}$x，l₂：y=-$\frac{a}$x，
F₂（c，0），F(xiàn)₂到漸近線l1的距離為$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b，
設(shè)|PF₂|=b，直線PF₂交l₂于Q，
由題意可得l₁垂直平分線段QF₂，
即有|OP|=$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$=a，
由于∠F₁OQ=∠QOP=∠POF₂=60°，
則有cos∠POF₂=$\frac{|OP|}{|O{F}_{2}|}$=$\frac{a}{c}$=$\frac{1}{2}$，
即有e=$\frac{c}{a}$=2．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查漸近線方程和離心率的求法，運用垂直平分線的性質(zhì)和銳角的余弦函數(shù)的定義和離心率公式是解題的關(guān)鍵．