Question

9．如圖，在平面直角坐標系xoy中，橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，直線l與x軸交于點E，與橢圓C交于A、B兩點．當直線l垂直于x軸且點E為橢圓C的右焦點時，弦AB的長為$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點E的坐標為$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0）$，點A在第一象限且橫坐標為$\sqrt{3}$，
連結(jié)點A與原點O的直線交橢圓C于另一點P，求△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，設(shè)a=3k（k＞0），得$c=\sqrt{6}k$，把b²用k表示，得到橢圓方程$\frac{x^2}{{9{k^2}}}+\frac{y^2}{{3{k^2}}}=1$，再由已知條件求得k，則橢圓C的方程可求；
（2）將$x=\sqrt{3}$代入$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$，解得y=±1，進一步求出點A的坐標再由E$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0）$，求出PA所在直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立求得$B（-\frac{{\sqrt{3}}}{5}，-\frac{7}{5}）$，求出PA所在直線方程，可得點B到直線PA的距離，代入三角形面積公式得答案．

解答 解：（1）由$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，設(shè)a=3k（k＞0），則$c=\sqrt{6}k$，b²=3k²，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{{9{k^2}}}+\frac{y^2}{{3{k^2}}}=1$，
∵直線l垂直于x軸且點E為橢圓C的右焦點，即${x_A}={x_B}=\sqrt{6}k$，
代入橢圓方程，解得y=±k，
于是$2k=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，即$k=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$；
（2）將$x=\sqrt{3}$代入$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$，解得y=±1，
∵點A在第一象限，從而$A（\sqrt{3}，1）$，
由點E的坐標為$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0）$，
∴${k_{AB}}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}$，直線PA的方程為$y=\frac{2}{{\sqrt{3}}}（x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
聯(lián)立直線PA與橢圓C的方程，解得$B（-\frac{{\sqrt{3}}}{5}，-\frac{7}{5}）$，
又PA過原點O，于是$P（-\sqrt{3}，-1）$，PA=4，
∴直線PA的方程為$x-\sqrt{3}y=0$，
則點B到直線PA的距離$h=\frac{{|{-\frac{{\sqrt{3}}}{5}+\frac{{7\sqrt{3}}}{5}}|}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{5}$，
故${S_{△PAB}}=\frac{1}{2}•4•\frac{{3\sqrt{3}}}{5}=\frac{{6\sqrt{3}}}{5}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了橢圓方程的求法，訓(xùn)練了點到直線的距離公式的應(yīng)用，是中檔題．