Question

20．已知sinθ＜0，tanθ＞0．
（1）求θ角的集合；
（2）求$\frac{θ}{2}$終邊所在象限；
（3）試判斷sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$tan$\frac{θ}{2}$的符號(hào)．

Answer 1

分析 （1）由已知可得θ為第三象限角，即解得θ角的集合．
（2）由（1）可得：$\frac{θ}{2}$∈（kπ+$\frac{π}{2}$，kπ+$\frac{3π}{4}$），k∈Z，分k是偶數(shù)，奇數(shù)時(shí)，討論即可得解．
（3）利用條件判斷角的范圍，然后判斷sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$tan$\frac{θ}{2}$的符號(hào)．

解答 解：（1）∵sinθ＜0，
∴θ為第三、四象限角或在y軸的負(fù)半軸上，
∵tanθ＞0，
∴θ為第一、三象限角，
∴θ為第三象限角，即θ角的集合為：{θ|2kπ+π，2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z}．
（2）由（1）可得：$\frac{θ}{2}$∈（kπ+$\frac{π}{2}$，kπ+$\frac{3π}{4}$），k∈Z，
當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，$\frac{θ}{2}$在第二象限，
當(dāng) k是奇數(shù)時(shí)，$\frac{θ}{2}$在第四象限，
（3）∵$\frac{θ}{2}$∈（kπ+$\frac{π}{2}$，kπ+$\frac{3π}{4}$），
∴當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，$\frac{θ}{2}$在第二象限，
則tan$\frac{θ}{2}$＜0，sin$\frac{θ}{2}$＞0，cos$\frac{θ}{2}$＜0．可得：sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$tan$\frac{θ}{2}$＞0，
當(dāng) k是奇數(shù)時(shí)，$\frac{θ}{2}$在第四象限，
則tan$\frac{θ}{2}$＜0，sin$\frac{θ}{2}$＜0，cos$\frac{θ}{2}$＞0．可得：sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$tan$\frac{θ}{2}$＞0，
綜上，sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$tan$\frac{θ}{2}$＞0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)值的符合和象限角的問題．考查了基礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．